利用函数的单调性定义研究函数f(x)=在定义域内的单调性. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

利用函数的单调性定义研究函数f(x)=在定义域内的单调性.

试题答案

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思路解析:首先确定定义域;再在R上任取x₁,x₂,且x₁＜x₂;再作差f(x₁)-f(x₂);再对差式进行分子有理化的变形,其关键是分子有理化的变形.

解:∵定义域是x≥-1,∴任意选取x₁、x₂,使-1≤x₁＜x₂,则f(x₁)= ,f(x₂)=.

∴f(x₁)-f(x₂)= -=.

∵-1≤x₁＜x₂,∴x₁-x₂＜0.∴＜0,即f(x₁)＜f(x₂).

∴函数f(x)=在定义域内是增函数.

深化升华

(1)在利用函数单调性的定量化定义证明函数的单调性时,变形和定号是关键的两步.变形的目的不是化简而是为了定号,应该变形到非常容易说明差的符号的形式为止,变形不充分不到位,则不易定号.

(2)为了达到定号的目的,注意一些变形的常用的技巧,像通分、分解因式、分子有理化等.

方法归纳

利用函数定量化的严格定义,证明函数的单调性是我们研究函数单调性的一种重要方法,在证明的过程中,选取自变量的两个一大一小值后,比较这两个自变量的值所对应的函数值的大小是证明的关键,其中“作差”比较大小是我们的一个常用方法.利用单调性的定量定义证明函数单调性的步骤是:

①任取→②作差→③变形→④定号.

利于定义研究有理函数单调性时,经常的变形方法是通分,分解因式；对无理函数经常的变形方法是分子或分母有理化.

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