Question

已知函数f（x）=log₃（2-sinx）-log₃（2+sinx）
（1）试判断函数的奇偶性（2）求函数的值域

Answer 1

分析：化简函数f（x）=log₃（2-sinx）-log₃（2+sinx），（1）利用函数的奇偶性的定义直接求解即可；
（2）把分子分离常数，根据-1≤sinx≤1，求出函数的值域．

解答：解：f(x)=log3

2-sinx

2+sinx

（1）f（x）的定义域为R，则对x∈R中的任意x都有f(-x)=log3

2-sin(-x)

2+sin(-x)

=log3

2+sinx

2-sinx

=-log3

2-sinx

2+sinx

=-f(x)
所以f（x）为R上的奇函数．
（2）令t=

2-sinx

2+sinx

=-1+

4

2+sinx

∵-1≤sinx≤1∴1≤2+sinx≤3
∴

1

3

≤

1

2+sinx

≤1，∴

4

3

≤

4

2+sinx

≤4∴

1

3

≤t≤3
∴-1≤f（x）≤1；
即值域为[-1，1]．

点评：本题考查对数的运算性质，函数奇偶性的判断，对数函数的值域与最值，考查计算能力．