题目内容
ABC的面积S满足| 3 |
| AB |
| BC |
（1）求θ的取值范围．
（2）求函数f（θ）=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ的最小值．
分析：（1）数量积列等式，三角形面积列不等式，消元可解θ的取值范围．
（2）通过三角函数的基本关系，以及二倍角公式化简函数f（θ），根据θ的取值范围，求最小值．
（2）通过三角函数的基本关系，以及二倍角公式化简函数f（θ），根据θ的取值范围，求最小值．
解答：解：（1）由题意知：
•
=|
||
|cosθ=6，①
S=
|
||
|sin（π-θ）
=
|
||
|sinθ，②
②÷①得
=
tanθ，即3tanθ=S．
由
≤S≤3，得
≤3tanθ≤3，即
≤tanθ≤1．
又θ为
与
的夹角，
∴θ∈[0，π]，∴θ∈[
，
]．
（2）f（θ）=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ
=1+sin2θ+2cos2θ
=2+sin2θ+cos2θ
=2+
sin（2θ+
）．
∵θ∈[
，
]，∴2θ+
∈[
，
]．
∴当2θ+
=
，θ=
时，f（θ）取最小值3．
| AB |
| BC |
| AB |
| BC |
S=
| 1 |
| 2 |
| AB |
| BC |
=
| 1 |
| 2 |
| AB |
| BC |
②÷①得
| S |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
由
| 3 |
| 3 |
| ||
| 3 |
又θ为
| AB |
| BC |
∴θ∈[0，π]，∴θ∈[
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
（2）f（θ）=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ
=1+sin2θ+2cos2θ
=2+sin2θ+cos2θ
=2+
| 2 |
| π |
| 4 |
∵θ∈[
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 7π |
| 12 |
| 3π |
| 4 |
∴当2θ+
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
点评：本题考查平面向量数量积的运算，三角函数的最值，三角函数的基本关系，二倍角公式等知识，是中档题．
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