Question

2．已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知f（$\frac{π}{4}$-α）=-$\frac{4}{5}$，且α∈（-$\frac{3π}{4}$，-$\frac{π}{4}$），求$\frac{1+sin2α+cos2α}{1+tanα}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出A，图象经过点M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$），代入方程求出φ，然后求f（x）的解析式；
（2）结合角的范围可求sin（$\frac{π}{4}$-α），tan（$\frac{π}{4}$-α），从而可求tanα，由万能公式即可得解．

解答 解：（1）依题意有A=1，则f（x）=sin（x+φ），
将点M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$）代入得sin（$\frac{π}{3}$+φ）=$\frac{1}{2}$，
而0＜φ＜π，
∴$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{5}{6}$π，
∴φ=$\frac{π}{2}$，
故f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx．
（2）∵f（$\frac{π}{4}$-α）=cos（$\frac{π}{4}$-α）=-$\frac{4}{5}$，α∈（-$\frac{3π}{4}$，-$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{π}{4}$-α∈（$\frac{π}{2}$，π），sin（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，tan（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{sin（\frac{π}{4}-α）}{cos（\frac{π}{4}-α）}$=$\frac{tan\frac{π}{4}-tanα}{1+tan\frac{π}{4}tanα}$=-$\frac{3}{4}$，
可解得：tanα=7，
∴$\frac{1+sin2α+cos2α}{1+tanα}$=$\frac{1+\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}+\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}}{1+tanα}$=$\frac{1+\frac{14}{50}-\frac{48}{50}}{8}$=$\frac{1}{25}$．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的化简求值，属于基本知识的考查．