Question

设CD是△ABC的边AB上的高，且满足

CD2

AC2

+

CD2

BC2

=1，则（　　）

Answer 1

分析：根据三角函数的定义先求出

CD

AC

=sinA，

CD

BC

=sinB，再由sin²A=1-sin²B=cos²B，分sinA=cosB 和 sinA=-cosB，利用诱导公式可得答案．

解答：解：由题意可得，

CD

AC

=sinA，

CD

BC

=sinB，

CD2

AC2

+

CD2

BC2

=1，
∴sin²A+sin²B=1，即sin²A=1-sin²B=cos²B．
故有 sinA=cosB，或sinA=-cosB，
①若sinA=cosB，则有sinA=sin（π-A）=sin（

π

2

-B），∴A=

π

2

-B，或 π-A=

π

2

-B，解得 A+B=

π

2

 或 A-B=

π

2

．
②若sinA=-cosB，则B为钝角，A为锐角，故有 sinA=cos（π-B）=sin[

π

2

-（π-B）]=sin（B-

π

2

），则有  A=B-

π

2

，即 B-A=

π

2

．
综合①②可得，A+B=

π

2

、或 A-B=

π

2

、或 B-A=

π

2

，
故选D．

点评：本题主要考查三角函数的定义，这里注意三角函数的取值，尤其是在三角形中角的变化范围，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．