题目内容
已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在
轴上，离心率为
，且过双曲线
的顶点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）命题：“设
、
是双曲线上关于它的中心对称的任意两点，
为该双曲线上的动点，若直线
、
均存在斜率，则它们的斜率之积为定值”．试类比上述命题，写出一个关于椭圆的类似的正确命题，并加以证明和求出此定值；
（3）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于方程
（
，
不同时为负数）的曲线的统一的一般性命题（不必证明）.
（1）
．
（2）关于椭圆
的正确命题是：设
、
是椭圆上关于它
的中心对称的任意两点，
为该椭圆上的动点，若直线
、
均存在斜率，
则它们的斜率之积为定值．
（定值）
（3）关于方程
（
，
不同时为负数）的曲线的统一的一般性命题是：
设、是方程（，不同时为负数）的曲线上关于它的中心对称的任意两点，为该曲线上的动点，若直线、均存在斜率，则它们的斜率之积为定值.
【解析】
试题分析：（1）设椭圆的方程为
，半焦距为
，
则
，
，
椭圆的方程为．
（2）关于椭圆的正确命题是：设、是椭圆上关于它
的中心对称的任意两点，为该椭圆上的动点，若直线、均存在斜率，
则它们的斜率之积为定值．
证明如下：
设点
，
，
，
直线、的斜率分别为
，
则
，
点，在椭圆上，
，且
，
， 即
，
所以，（定值）
（3）关于方程（，不同时为负数）的曲线的统一的一般性命题是：
设、是方程（，不同时为负数）的曲线上关于它的中心对称的任意两点，为该曲线上的动点，若直线、均存在斜率，则它们的斜率之积为定值.
考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系。
点评：中档题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，注意明确焦点轴和a,b,c的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）注意将斜率用坐标表示出来，易于发现关系。本题得到一般性结论，对指导学生学习探究很有裨益。
鹰派教辅衔接教材河北教育出版社系列答案
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．