Question

在直角梯形ABCD中，ABCD，AB=2BC=4，CD=3，E为AB中点，过E作EFCD，垂足为F，（如图一），将此梯形沿EF折起，使得平面ADFE垂直于平面FCBE，（如图二）．

（1）求证：BF平面ACD；
（2）求多面体ADFCBE的体积．

Answer 1

解：（1）证明：直角梯形ABCD中，ABCD，AB=2BC=4，CD=3，
E为AB中点，EFCD，垂足为F，
BCFE为正方形．
设BF和CE的交点为O，则O是正方形BCFE的中心．
再由平面ADFE垂直于平面FEBC，可得AE和DF都垂直于平面BCFE．
取AC得中点为H，则由三角形的中位线性质可得OH平行且等于AE的一半，
故OH平行且等于DF，
故四边形OHDF为矩形，
故OF平行于DH．
再由DH平面ACD，OF不在平面ACD内，
故OF平面ACD，
即BF平面ACD．
（2）把多面体ADFCBE分成两个棱锥：三棱锥A﹣BCE 和四棱锥C﹣AEFD，
由题意可得CF平面AEFD，AE平面BCFE．
V_A﹣BCE=S_△BCEAE=．
V_C﹣AEFD=S_AEFDCF=，
故多面体ADFCBE的体积为 V_A﹣BCE+V_C﹣AEFD=+2=．