Question

已知a＞b＞0，且ab=1，则

a2+b2

a-b

取得最小值时，a+b=

6

．

Answer 1

分析：由题意，

(a-b)2+2ab

a-b

=

(a-b)2+2

a-b

=a-b+

2

a-b

，由题意可得a-b＞0，故可用基本不等式得到a-b=

2

a-b

，即a-b=

2

时，取到最小值，再由（a+b）²=（a-b）²+4ab=6即可解得a+b的值

解答：解：由于ab=1，故

a2+b2

a-b

=

(a-b)2+2ab

a-b

=

(a-b)2+2

a-b

=a-b+

2

a-b

又a＞b＞0，故a-b＞0
∴

a2+b2

a-b

=a-b+

2

a-b

≥2

(a-b)× 2 a-b

=2

2

，等号当且仅当a-b=

2

a-b

，即a-b=

2

时，等号成立
又（a+b）²=（a-b）²+4ab=6，
∴

a2+b2

a-b

取得最小值时，a+b=

6

故答案为

6

点评：本题考查基本不等式在最值问题的应用，本题利用基本不等式等号成立的条件得到a，b所满足的等式是解题的关键，本题考察了推理推理判断与灵活变形的能力，考查了转化的思想