题目内容
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（2，1），B（-1，1），若点P满足| OP |
| OA |
| OB |
| 2 |
| 3 |
1）求点P的轨迹C的方程.2）设D（0，2），过D的直线L与曲线C交于不同的两点M、N，且M点在D，N之间，设
| DM |
| DN |
分析：1）设P（x，y），由条件
=α•
+β•
，x、y可由α和β表达，反解出α和β代入2α2+β2=
．可得x和y的关系式，此即为点P的轨迹C的方程
2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由
=λ
可得x1=λx2，
设出直线l的方程，与椭圆联立、消元、维达定理，
| OP |
| OA |
| OB |
| 2 |
| 3 |
2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由
| DM |
| DN |
设出直线l的方程，与椭圆联立、消元、维达定理，
解答：解：1）设P（x，y），由条件
=α•
+β•
，得
，代入2α2+β2=
．
可得
+y2 =1，此即为点P的轨迹C的方程
2）当直线l斜率存在时，设l：y=kx+2，代入椭圆方程得：
（1+2k2）x2+8kx+6=0
因为直线L与曲线C交于不同的两点M、N，
所以△＞0，解得k2＞
设M（x1，y1），N（x2，y2），
由维达定理可得x1+x2=
，x1x2=
由
=λ
可得x1=λx2代入上式可得
λ+
+2 =
=
-
因为k2＞
，所以2＜λ+
＜
，解得
＜λ＜3且λ≠1
当直线l斜率不存在时，λ=
又因为M点在D，N之间，所以0＜λ＜1
所以λ的取值范围是[
，1)
| OP |
| OA |
| OB |
|
| 2 |
| 3 |
可得
| x2 |
| 2 |
2）当直线l斜率存在时，设l：y=kx+2，代入椭圆方程得：
（1+2k2）x2+8kx+6=0
因为直线L与曲线C交于不同的两点M、N，
所以△＞0，解得k2＞
| 3 |
| 2 |
设M（x1，y1），N（x2，y2），
由维达定理可得x1+x2=
| -8k |
| 1+2 k2 |
| 6 |
| 1+2k2 |
由
| DM |
| DN |
λ+
| 1 |
| λ |
| ( x1+x2) 2 |
| x1x2 |
| 16 |
| 3 |
| 16 |
| 3(1+2k2) |
因为k2＞
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| λ |
| 10 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
当直线l斜率不存在时，λ=
| 1 |
| 3 |
又因为M点在D，N之间，所以0＜λ＜1
所以λ的取值范围是[
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查相关点法求轨迹方程、直线与椭圆的位置关系问题、求参数的范围问题．考查运算能力和逻辑推理能力．
注意向量在题目条件中的作用，提供点的坐标的关系．
注意向量在题目条件中的作用，提供点的坐标的关系．
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