题目内容

设双曲线
x2
m2
-
y2
n2
=1(mn≠0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为2，则此双曲线的方程为
 
．
分析：首先由抛物线y2=2px的焦点为（
p
2
，0）求出抛物线y2=8x的焦点，然后利用双曲线的性质e=
c
a
与c2=a2+b2列方程组即可解出m、n，则双曲线方程求出．
解答：解：∵抛物线y2=8x的焦点为（2，0）
∴
c=2
c
|m
=2
c2=m2+n2
，解得m2=1，n2=3，
∴此双曲线的方程为x2-
y2
3
=1．
故答案为x2-
y2
3
=1．
点评：本题主要考查双曲线的标准方程与性质，同时考查抛物线的标准方程与简单性质．
练习册系列答案
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设双曲线
x2
m2
-
y2
n2
=1(m＞0，n＞0)的焦距为
7
，一条渐近线方程为y=
6
x，则此双曲线的方程为（　　）
（2013•安庆三模）已知焦点在x轴上的椭圆C1：
x2
a2
+
y2
12
=1和双曲线C2：
x2
m2
-
y2
n2
=1的离心率互为倒数，它们在第一象限交点的坐标为（
4
10
5
，
6
5
5
），设直线l：y=kx+m（其中k，m为整数）．
（1）试求椭圆C1和双曲线C2 的标准方程；
（2）若直线l与椭圆C1交于不同两点A、B，与双曲线C2交于不同两点C、D，问是否存在直线l，使得向量
AC
+
BD
=
0
，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e，且b，e，
1
3
为等比数列，曲线y=8-x2恰好过椭圆的焦点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设双曲线C2：
x2
m2
-
y2
n2
=1的顶点和焦点分别是椭圆C1的焦点和顶点，设O为坐标原点，点A，B分别是C1和C2上的点，问是否存在A，B满足
OA
=
1
2
OB
．请说明理由．若存在，请求出直线AB的方程．
设向量
a
与
b
的夹角为θ，
a
=(3，3)，2
b
-
a
=(-1，1)，若直线2x-y-8=0沿向量
b
平移，所得直线过双曲线
x2
m2
-
y2
22
=1的右焦点，（i）cosθ=
3
10
10
3
10
10
；（ii）双曲线
x2
m
-
y2
22
=1的离心率e=
2
3
3
2
3
3
．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e，且b，e，
1
3
为等比数列，曲线y=8-x2恰好过椭圆的焦点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设双曲线C2：
x2
m2
-
y2
n2
=1的顶点和焦点分别是椭圆C1的焦点和顶点，设O为坐标原点，点A，B分别是C1和C2上的点，问是否存在A，B满足
OA
=
1
2
OB
．请说明理由．若存在，请求出直线AB的方程．

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