Question

甲有一个箱子，里面放有x个红球，y个白球（x，y≥0，且x+y=4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子任取2个球，乙从箱子里在取1个球，若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜．
（1）试问甲如何安排箱子里两种颜色的个数，才能使自己获胜的概率最大？
（2）在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数的数学期望．

Answer 1

分析：（1）根据甲从箱子任取2个球，乙从箱子里在取1个球，若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜，可得甲获胜的概率，再利用基本不等式，可得x，y的值；
（2）由题意知取出的3个球中红球个数ξ的取值为1，2，3，4，分别求出其发生的概率，进而求出次数ξ的数学期望

解答：解：（1）由题意，P=

C 1 x C 1 y C 1 1

C 2 4 C 1 4

=

xy

24

；
∴

xy

24

≤

( x+y  2 )2

24

=

1

6

，
当且仅当x=y=2时“=”成立
所以当红球与白球各2个时甲获胜的概率最大
（2）取出的3个球中红球个数ξ=0，1，2，3
P(ξ=0)=

C 2 2 C 1 2

C 1 4 C 2 4

=

1

12

；P(ξ=1)=

C 1 2 C 1 2 C 1 2 + C 2 2 C 1 2

C 1 4 C 2 4

=

5

12

P(ξ=2)=

C 2 2 C 1 2 + C 1 2 C 1 2 C 1 2

C 1 4 C 2 4

=

5

12

，P(ξ=3)=

C 2 2 C 1 2

C 1 4 C 2 4

=

1

12

所以Eξ=0×

1

12

+1×

5

12

+2×

5

12

+3×

1

12

=

3

2

点评：本题以摸球为素材，考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的期望，考查基本不等式的运用，解题的关键是理解题意，搞清变量的所有取值．