Question

11．如图（1），在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB²=BD•BC；若类比该命题，如图（2），三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有${S}_{△ABC}^{2}={S}_{△BCM}•{S}_{△BCD}$．

Answer 1

分析 利用类比推理，将平面中的线与空间中的面类比，得到类比结论．
通过连接DM，据BC⊥AM，BC⊥AD得到BC⊥ADE得到BC⊥ED得到满足平面条件的三角形AED，利用平面三角形的性质得证

解答 解：由已知在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB²=BD•BC；
类比：三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，
则有S_△ABC²=S_△BCM•S_△BCD．
在图（2）中，连接DM，并延长交BC于E，连接AE，则有DE⊥BC．
因为AD⊥面ABC，所以AD⊥AE．
又AM⊥DE，所以AE²=EM•ED．
于是S△ABC2=（$\frac{1}{2}$BC•AE）2=（$\frac{1}{2}$BC•EM）•（$\frac{1}{2}$BC•ED）=S_△BCM•S_△BCD．
故有S_△ABC²=S_△BCM•S_△BCD

点评 本题考查类比推理及利用平面的性质证明空间的结论．考查空间想象能力，逻辑思维能力．