Question

如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得∠CAB=75°，∠CBA=45°，且AB=100米．
（1）求sin75°；
（2）求该河段的宽度．

Answer 1

分析：（1）由题意利用两角和公式即可；
（2）由题意画出简图，在三角形中利用正弦定理先求出BC的长度，然后过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，由题意可得BD的长就是该河段的宽度，在三角形中解出即可．

解答：解：（1）sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°
=

1

2

×

2

2

+

3

2

×

2

2

=

6 + 2

4

；
（2）∵∠CAB=75°，∠CBA=45°
∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=60°，
由正弦定理得：

AB

sin∠ACB

=

BC

sin∠CAB

∴BC=

ABsin75°

sin60°

，
如图过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度．
在Rt△BDC中，∵∠BCD=∠CBA=45°，sin∠BCD=

BD

BC

，
∴BD=BCsin45°=

ABsin75°

sin60°

•sin45°=

100× 6 + 2 4

3 2

×

2

2

=

25(6+2 3 )

3

=

50(3+ 3 )

3

（米）．

点评：此题考查了学生的题意理解，还考查了正弦定理解三角形，两角和公式，还考查了学生的计算能力，属于基本题型．