Question

已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0
（1）证明：函数f（x）是奇函数；
（2）若f（1）=2，求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（t²-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）=0，再令y=-x即可证明函数f（x）是奇函数；
（2）在R上任取x₁，x₂，且x₁＞x₂，由f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＞0可判断f（x）在R上单调递增，于是可求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值；
（3）利用f（x）在R上单调递增，脱掉函数符号即可求实数k的取值范围．

解答：证明：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0…（1分）
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x-x）=f（x）+f（-x）=0
∴-f（x）=f（-x）…（3分）
∵f（x）的定义域为R，关于原点对称．
∴f（x）是奇函数．…（4分）
（2）在R上任取x₁，x₂，且x₁＞x_2，
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）
∵x₁-x₂＞0，
∴f（x₁-x₂）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即：f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上单调递增．…（7分）
∵f（1）=2，
∴f（2）=f（1）+f（1）=4，f（-2）=-f（2）=-4…（8分）
∴f（x）在[-2，2]上最大值为4，最小值为-4．…（9分）
（3）∵f（t²-2t）+f（t²-k）＞0，f（x）是定义在R上的奇函数，
∴

f(t2-2t)＞-f(t2-k)=f(-t2+k)

…（11分）
由（2）可知f（x）在R上单调递增，
∴t²-2t＞-t²+k，
∴k＜2t²-2t=2(t-

1

2

)2-

1

2

恒成立…（12分）
∴k＜-

1

2

…（14分）

点评：本题考查抽象函数及其用，着重考查函数的奇偶性、单调性与最值，难点在于（2）中f（x）在R上单调递增的分析，突出化归思想的考查，属于难题．