Question

数列{a_n}中，已知a₁=-2，a₂=-1，a₃=1，若对任意正整数n，有a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，且a_n+1a_n+2a_n+3≠1，则该数列的前2010 项和S₂₀₁₀=（ ）
A．2010
B．-2011
C．-2010
D．-2008

Answer 1

【答案】分析：分别表示出a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，a_n+1a_n+2a_n+3a_n+4=a_n+1+a_n+2+a_n+3+a_n+4，两式相减可推断出a_n+4=a_n，进而可知数列{a_n}是以4为周期的数列，只要看2010是3的多少倍，然后通过a₁=-2，a₂=-1，a₃=1求得a₄，而2010是4的502倍余2，故可知S₂₀₁₀=502×（-2-1+1-2）+a₁+a₂答案可得．
解答：解：依题意可知，a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，a_n+1a_n+2a_n+3a_n+4=a_n+1+a_n+2+a_n+3+a_n+4，
两式相减得a_n+1a_n+2a_n+3（a_n+4-a_n）=a_n+4-a_n，
∵a_n+1a_n+2≠1，
∴a_n+4-a_n=0，即a_n+4=a_n，
∴数列{a_n}是以4为周期的数列，
∵a₁a₂a₃a₄=a₁+a₂+a₃+a₄∴a₄=-2
∴S₂₀₁₀=502×（-2-1+1-2）+a₁+a₂=-2011
故选B
点评：本题主要考查了数列的递推式和数列的求和问题．本题的关键是找出数列的周期性，属于中档题．