Question

已知对称中心为坐标原点的椭圆C₁与抛物线C₂：x²=4y有一个相同的焦点F₁，直线l：y=2x+m与抛物线C₂只有一个公共点．
（1）求直线l的方程；
（2）若椭圆C₁经过直线l上的点P，当椭圆C₁的离心率取得最大值时，求椭圆C₁的方程及点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据直线l：y=2x+m与抛物线C₂只有一个公共点，所以x²=4（2x+m）只有唯一解，从而可求m的值，即可得到直线l的方程；
（2）椭圆两焦点F₁（0，1），F₂（0，-1），椭圆过直线l上的点P，要使椭圆的离心率最大，只需|PF₁|+|PF₂|有最小值，只需求F₂关于直线L的对称点F₃到F₁的距离即可．
解答：解：（1）又因为直线l：y=2x+m与抛物线C₂只有一个公共点，所以x²=4（2x+m）只有唯一解，所以x²-8x-4m=0只有唯一解，所以64+16m=0，所以m=-4，∴直线l的方程为：y=2x-4．
 （2）抛物线C₂：x²=4y的焦点坐标为F₁（0，1），所以椭圆C₁中，c=1，焦点在y轴上，
所以椭圆两焦点F₁（0，1），F₂（0，-1）．
椭圆又过直线l上的点P，要使椭圆的离心率最大，只需|PF₁|+|PF₂|有最小值，
只需求F₂关于直线L的对称点F₃到F₁的距离即可．
设F₂关于直线L的对称点F₃（m，n），
∴，解得，
即F₃（，-），所以直线F₁F₃方程为：，即y=-x+1，
与直线l联立，可得，即P（）；
此时椭圆C₁中，2a=|F₁F₃|=4，
∴a²=4，
∴b²=a²-c²=3，
∴椭圆方程为
点评：本题考查直线与椭圆的方程，解题的关键是使椭圆的离心率最大，只需|PF₁|+|PF₂|有最小值，只需求F₂关于直线L的对称点F₃到F₁的距离即可．