Question

已知三棱锥P-ABC中，E．F分别是AC．AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．
（1）证明EF∥平面PBC．
（2）证明PC⊥平面PAB；
（3）求二面角P-AB-C的平面角的余弦值；
（说明：文科班只做（1），（2）理科班做（1）、（2）、（3））

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得EF∥平面PBC；
（2）连接CF，由△ABC，△PEF是正三角形且E，F为AC、AB的中点，可得PE=EF=

1

2

BC=

1

2

AC，可得PA⊥PC，由已知易证AB⊥面PCF，从而可得AB⊥PC，利用线面垂直的判定定理可证；
（3）由AB⊥PF，AB⊥CF可得∠PFC为所求的二面角，Rt△PEF中，求解即可．

解答：（1）证明：∵E，F是AC，AB的中点，∴EF∥BC，
∵BC?平面PBC，EF?平面PBC
∴EF∥平面PBC；
（2）证明：连结CF．
∵PE=EF=

1

2

BC=

1

2

AC，
∴AP⊥PC．
∵CF⊥AB，PF⊥AB，
∴AB⊥平面PCF．
∵PC?平面PCF，
∴PC⊥AB，
∴PC⊥平面PAB；
（3）解：∵AB⊥PF，AB⊥CF，
∴∠PFC为所求二面角的平面角．
设AB=a，则AB=a，则PF=EF=

a

2

，CF=

3

2

a
∴cos∠PFC=

a 2

3 2 a

=

3

3

．

点评：本小题主要考查空间线面垂直的关系、线面平行、二面角的度量，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，属于中档题．