题目内容
19.已知曲线C:$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$(θ为参数),直线l:$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$(t为参数).(1)写出曲线C和直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为45°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
分析 (1)由曲线C:$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$(θ为参数),利用sin2θ+cos2θ=1可得曲线C的普通方程.直线l:$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$(t为参数).消去参数t可得直线l的普通方程.
(2)曲线C上任意一点P(3cosθ,2sinθ)到l的距离为d=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|6cosθ+2sinθ-6|.则|PA|=$\frac{d}{sin45°}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$|$\sqrt{10}$sin(θ+α)-3|,其中α为锐角,且tan α=3.利用正弦函数的单调性即可得出最值.
解答 解:(1)由曲线C:$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$(θ为参数),利用sin2θ+cos2θ=1可得曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1.
直线l:$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$(t为参数).消去参数t可得直线l的普通方程为2x+y-6=0.
(2)曲线C上任意一点P(3cosθ,2sinθ)到l的距离为d=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|6cosθ+2sinθ-6|.
则|PA|=$\frac{d}{sin45°}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$|$\sqrt{10}$sin(θ+α)-3|,其中α为锐角,且tan α=3.
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为$\frac{6\sqrt{10}+20}{5}$.
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为$\frac{20-6\sqrt{10}}{5}$.
点评 本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
A. | 对于任意的x∈R,x2+1≤0 | B. | 存在x∈R,x2+1≤0 | ||
C. | 存在x∈R,x2+1<0 | D. | 存在x∈R,x2+1>0 |
(1)若直线l的倾斜角为θ(θ≠90°),且直线l经过另外一点(cosθ,sinθ),求此时直线的方程;
(2)若直线l与两坐标轴围成等腰直角三角形,求直线l的方程.
A. | 命题“若x2=4,则x=2”的否命题为“若x2=4,则x≠2” | |
B. | 所有常数列既是等差数列也是等比数列 | |
C. | 命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为假命题 | |
D. | 命题“?x∈R,x2+x<0”的否定是“?x∈R,x2+x≥0”. |
A. | -$\frac{1}{6}$ | B. | $\frac{1}{6}$ | C. | $\frac{7}{18}$ | D. | -1 |
A. | f(1)>c>f(-1) | B. | f(1)<c<f(-1) | C. | f(1)>f(-1)>c | D. | f(1)<f(-1)<c |