题目内容
4位学生与2位教师并坐合影留念.(1)教师必须坐在中间;(2)教师不能坐在两端,但要坐在一起;(3)教师不能坐在两端,且不能相邻.各有多少种不同的坐法?
(1)48 (2)144 (3)144
解析:
(1) 解法1 固定法:从元素着眼,把受限制的元素先固定下来.
ⅰ) 教师先坐中间,有种方法; ⅱ) 学生再坐其余位置,有种方法.
∴ 共有 ·=48种坐法.
解法2 排斥法:从位置着眼,把受限制的元素予先排斥掉.
ⅰ) 学生坐中间以外的位置:; ⅱ) 教师坐中间位置:.
解法3 插空法:从元素着眼,让不受限制的元素先排好(无条件),再让受限制元素按题意插入到允许的位置上.
ⅰ) 学生并坐照相有种坐法; ⅱ) 教师插入中间:.
解法4 淘汰法(间接解法):先求无条件限制的排法总数,再求不满足限制条件的排法数,然后作差.即“A=全体-非A”.
ⅰ) 6人并坐合影有种坐法; ⅱ) 两位教师都不坐中间:
(先固定法)·;
ⅲ) 两位教师中仅一人坐中间; (甲坐中间) · (再固定乙不坐中间) · · 2(甲、乙互换);
ⅳ) 作差:-(+2)
解法5 等机率法:如果每一个元素被排入,被选入的机会是均等的,就可以利用等机率法来解.将教师看作1人(捆绑法),问题变成5人并坐照相,共有种坐法,而每个人坐中间位置的机会是均等的,应占所有坐法的1/5,即教师1人坐
中间的坐法有即种。
(2) 将教师看作1人,问题变为5人并坐照相. 解法1 从位置着眼,排斥元素??——教师.
先从4位学生中选2人坐两端位置:;其他人再坐余下的3个位置:;教师内部又有种坐法. ∴ 共有 =144种坐法.
解法2 从元素着眼,固定位置.
先将教师定位:;再排学生: . ∴ 共有 种坐法。
(3) 解 插空法:(先排学生) (教师插空).