题目内容

4位学生与2位教师并坐合影留念.(1)教师必须坐在中间;(2)教师不能坐在两端,但要坐在一起;(3)教师不能坐在两端,且不能相邻.各有多少种不同的坐法?

(1)48    (2)144      (3)144


解析:

(1) 解法1  固定法:从元素着眼,把受限制的元素先固定下来.

ⅰ) 教师先坐中间,有种方法;  ⅱ) 学生再坐其余位置,有种方法.

 ∴  共有 ·=48种坐法.

解法2 排斥法:从位置着眼,把受限制的元素予先排斥掉.

ⅰ) 学生坐中间以外的位置:;       ⅱ) 教师坐中间位置:

解法3  插空法:从元素着眼,让不受限制的元素先排好(无条件),再让受限制元素按题意插入到允许的位置上.

ⅰ) 学生并坐照相有种坐法;   ⅱ) 教师插入中间:

解法4  淘汰法(间接解法):先求无条件限制的排法总数,再求不满足限制条件的排法数,然后作差.即“A=全体-非A”.

ⅰ) 6人并坐合影有种坐法;   ⅱ) 两位教师都不坐中间:

 (先固定法)·

ⅲ) 两位教师中仅一人坐中间; (甲坐中间) · (再固定乙不坐中间) · · 2(甲、乙互换);

ⅳ) 作差:-(+2

解法5  等机率法:如果每一个元素被排入,被选入的机会是均等的,就可以利用等机率法来解.将教师看作1人(捆绑法),问题变成5人并坐照相,共有种坐法,而每个人坐中间位置的机会是均等的,应占所有坐法的1/5,即教师1人坐

中间的坐法有种。

(2) 将教师看作1人,问题变为5人并坐照相.   解法1  从位置着眼,排斥元素??——教师.

先从4位学生中选2人坐两端位置:;其他人再坐余下的3个位置:;教师内部又有种坐法. ∴  共有 =144种坐法.

解法2  从元素着眼,固定位置.

先将教师定位:;再排学生: .  ∴  共有 种坐法。

(3) 解  插空法:(先排学生) (教师插空).

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