Question

设F₁，F₂是椭圆E：

x2

a2

+2y2=1（a＞

2

2

）的左右焦点，过F₁的直线l与E相交于A、B两点，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列
（1）求|AB|；
（2）若直线l的斜率为1，求椭圆E的方程．

Answer 1

分析：（1）由等差数列的定义得到2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，由椭圆定义知|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4a，两式联立可求
|AB|；
（2）写出直线方程，和椭圆方程联立后利用弦长公式求出|AB|，和（1）中求出的|AB|联立求解a的值，则椭圆E的方程可求．

解答：解：（1）由|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，
得2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，由椭圆定义知|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4a．
所以3|AB|=4a，|AB|=

4

3

a；
（2）由题意设直线l的方程为y=x+c．
联立

y=x+c x2 a2 +2y2=1

，得（2a²+1）x²+4a²cx+2a²c²-a²=0
则x1+x2=

-4a2c

2a2+1

，x1x2=

2a2c2-a2

2a2+1

．
所以|AB|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

(- 4a2c 2a2+1 )2-4• 2a2c2-a2 2a2+1

=

2

-8a2c2+8a4+4a2 (2a2+1)2

=

4a

3

．
解得：a²=2．
代入△满足△＞0成立．
所以椭圆方程为

x2

2

+2y2=1．

点评：本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆的标准方程，训练了弦长公式的用法，考查了学生的计算能力，是中档题．