题目内容
已知函数f（x）=sin| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
| 3 |
| x |
| 3 |
| ||
| 2 |
（1）求f（x）的最小正周期及其对称中心；
（2）如果三角形ABC的三边 a．b．c 满足b2=ac，且边b所对角为 x，试求x的范围及此时函数f（3x）的值域．
分析：（1）先利用辅助角公式以及降幂公式把函数f（x）化简为sin（
+
），再利用周期和对称中心的求法代入即可求得结论．
（2）先利用余弦定理以及基本不等式得到cosx=
=
≥
=
，求出x∈（0，
]；再代入f（3x）利用正弦函数的单调性即可求出函数f（3x）的值域．
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）先利用余弦定理以及基本不等式得到cosx=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| a2+c2-ac |
| 2ac |
| 2ac-ac |
| 2ac |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
解答：解：（1）f（x）=sin
cos
+
cos2
-
=
sin
+
-
=sin
cos
+cos
sin
=sin（
+
）．
∴f（x）的最小正周期T=
=3π（5分）
f（x）的对称中心为（
-
，0） （k∈Z）．（6分）
（2）∵b2=ac，∴cosx=
=
≥
=
．（8分）
又x∈（0，π），∴x∈（0，
]，
而f（3x）=sin（2x+
），由2x+
∈（
，π]（10分）
∴f（3x）=sin（2x+
）∈[0，1]（12分）
| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
| 3 |
| x |
| 3 |
| ||
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| 3 |
1+cos
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
=sin
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴f（x）的最小正周期T=
| 2π | ||
|
f（x）的对称中心为（
| 3kπ |
| 2 |
| π |
| 2 |
（2）∵b2=ac，∴cosx=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| a2+c2-ac |
| 2ac |
| 2ac-ac |
| 2ac |
| 1 |
| 2 |
又x∈（0，π），∴x∈（0，
| π |
| 3 |
而f（3x）=sin（2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴f（3x）=sin（2x+
| π |
| 3 |
点评：本题第一问主要考查三角函数中的恒等变换应用以及三角函数的周期性和对称中心及其求法，解决问题的关键在于正确利用辅助角公式以及降幂公式把函数f（x）化简．
练习册系列答案
相关题目
