Question

经过A（2，0），以（2cosθ-2，sinθ）为方向向量的直线与经过B（-2，0），以（2+2cosθ，sinθ）为方向向量的直线相交于点M（x，y），其中θ≠kπ．
（I）求点M（x，y）的轨迹方程；
（II）设（I）中轨迹为曲线C，F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，若曲线C内存在动点P，使得|PF₁|、|OP|、|PF₂|成等比数列（O为坐标原点），求

PF1

•

PF2

的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据题意知，

MA

=(2-x，0-y)∥（2cosθ-2，sinθ），根据共线向量定理可得?（x-2）sinθ=y（2cosθ-2），同理（x+2）sinθ=y（2cosθ+2），两式相乘，即可得到点M（x，y）的轨迹方程；
（II）设p（x₀，y₀）在曲线C内，得

x 0 2

4

+

y

0 2

＜1，再由|PF₁|、|OP|、|PF₂|成等比数列可得|OP|2=|PF1|•|PF2|?

x

0 2

+

y

0 2

=

(x0+ 3 )2+ y 0 2

•

(x0- 3 )2+ y 0 2

并代入求得

PF1

•

PF2

，即可求得结果．

解答：解：（I）

MA

=(2-x，0-y)，（2-x）sinθ+y（2cosθ-2）=0?（x-2）sinθ=y（2cosθ-2）①
同理（-2-x）sinθ+y（2cosθ+2）=0?（x+2）sinθ=y（2cosθ+2）②
①×②得x²-4=-4y²
即

x2

4

+y2=1；
（II）设p（x₀，y₀），则

x 2 0

4

+

y

2 0

＜1③
|OP|2=|PF1|•|PF2|?

x

2 0

+

y

2 0

=

(x0+ 3 )2+ y 2 0

•

(x0- 3 )2+ y 2 0

化简得：

x

2 0

-

y

2 0

=

3

2

④
④代入③得0≤

y

2 0

＜

1

2

PF

1•

PF

 2=(-

3

-x0，-y0)•(

3

-x0，-y0)=

x

2 0

+

y

2 0

-3=2

y

2 0

-

3

2

0≤

y

2 0

＜

1

2

?-

3

2

≤2

y

2 0

-

3

2

＜-

1

2

点评：此题是个中档题．考查向量在几何中的应用，以及数列与解析几何的综合．同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．