Question

已知函数 f(x)=

1

2

x2-mlnx+(m-1)x，m∈R．
（1）当 m=2时，求函数 f（x）的最小值；
（2）当 m≤0时，讨论函数 f（x）的单调性；
（3）求证：当 m=-2时，对任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．

Answer 1

分析：（1）将m=2代入，求出函数f（x）的解析式，进而求出导函数，利用导数法求出函数的单调性，进而可得函数的最小值；
（2）求出函数的导函数的解析式，分-1＜m≤0，m=-1和m＜-1时三种情况，分别讨论导函数的符号，可得函数 f（x）的单调性；
（3）设0＜x₁＜x₂，要证明

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1，即证明：f（x₂）+x₂＞f（x₁）+x₁，将m=-2代入，构造函数h(x)=f(x)+x=

1

2

x2+2lnx-2x，利用导数法分析函数的单调性，进而可得答案．

解答：解：（1）显然函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当m=2时，f′(x)=

x2+x-2

x

=

(x-1)(x+2)

x

．
∴当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，
x∈（1，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x=1时取得最小值，其最小值为 f（1）=

3

2

．
（2）∵f′(x)=x-

m

x

+(m-1)=

x2+(m-1)x-m

x

=

(x-1)(x+m)

x

∴①当-1＜m≤0即-m＜1时，
若x∈（0，-m）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（-m，1）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数
②当m=-1时，
f′(x)=

(x-1)2

x

≥0，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．
③当m＜-1即-m＞1时，
x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（1，-m）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（-m，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．
证明：（3）不妨设0＜x₁＜x₂，要证明

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1，
即证明：f（x₂）+x₂＞f（x₁）+x₁
当m=-2时，函数f(x)=

1

2

x2+2lnx-3x．
考查函数h(x)=f(x)+x=

1

2

x2+2lnx-2x
∵h′(x)=x+

2

x

-2=

x2-2x+2

x

=

(x-1)2+1

x

＞0
∴h（x）在（0，+∞）上是增函数，
对任意0＜x₁＜x₂，h（x₂）＞h（x₁），
所以f（x₂）+x₂＞f（x₁）+x₁，
∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1
命题得证

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，函数单调性的判断与证明，熟练掌握向量法判断函数单调性和最值的方法步骤是解答的关键．