Question

已知，数列{a_n}有a₁=a，a₂=2，对任意的正整数n，S_n=a₁+a₂+…+a_n，并有S_n满足Sn=

n(an-a1)

2

．
（1）求a的值；
（2）求证数列{a_n}是等差数列；
（3）对于数列{b_n}，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有b_n＜b且

lim

n→∞

bn=b，则称b为数列{b_n}的“上渐进值”，令pn=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

，求数列{p₁+p₂+…+p_n-2n}的“上渐进值”．

Answer 1

（1）由已知，得s1=

1•(a-a)

2

=a1=a，∴a=0…（4分）
（2）由a₁=0得Sn=

nan

2

，则Sn+1=

(n+1)an+1

2

，
∴2（S_n+1-S_n）=（n+1）a_n+1-na_n，即2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，
于是有（n-1）a_n+1=na_n，并且有na_n+2=（n+1）a_n+1，
∴na_n+2-（n-1）a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，即n（a_n+2-a_n+1）=n（a_n+1-a_n），
而n是正整数，则对任意n∈N都有a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴数列{a_n}是等差数列，其通项公式是a_n=2（n-1）．…（10分）
（3）∵Sn=

n(n-1)•2

2

=n(n-1)∴pn=

(n+2)(n+1)

(n+1)n

+

(n+1)n

(n+2)(n+1)

=2+

2

n

-

2

n+2

∴p₁+p₂+p₃+…+p_n-2n=(2+

2

1

-

2

3

)+(2+

2

2

-

2

4

)+…+(2+

2

n

-

2

n+2

)-2n=2+1-

2

n+1

-

2

n+2

；由n是正整数可得p₁+p₂+…+p_n-2n＜3，
并且有

lim

n→∞

(p1+p2+…+pn-2n)=3，
∴数列{p₁+p₂+…+p_n-2n}的“上渐进值”等于3．…（18分）