Question

已知函数f(x)=

(x+1)(x+a)

x2

为偶函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）记集合E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5-

1

4

，判断λ与E的关系；
（Ⅲ）当x∈[

1

m

，

1

n

]（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域为[2-3m，2-3n]，求m，n的值．

Answer 1

分析：（I）根据函数f(x)=

(x+1)(x+a)

x2

为偶函数f（-x）=f（x），构造关于a的方程组，可得a值；
（II）由（I）中函数f（x）的解析式，将x∈{-1，1，2}代入求出集合E，利用对数的运算性质求出λ，进而根据元素与集合的关系可得答案
（III）求出函数f（x）的导函数，判断函数的单调性，进而根据函数f（x）的值域为[2-3m，2-3n]，x∈[

1

m

，

1

n

]，m＞0，n＞0构造关于m，n的方程组，进而得到m，n的值．

解答：解：（I）∵函数f(x)=

(x+1)(x+a)

x2

为偶函数．
∴f（-x）=f（x）
即

(x+1)(x+a)

x2

=

(-x+1)(-x+a)

x2

∴2（a+1）x=0，
∵x为非零实数，
∴a+1=0，即a=-1
（II）由（I）得f(x)=

x2-1

x2

∴E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}={0，

3

4

}
而λ=lg22+lg2lg5+lg5-

1

4

=lg2•(lg2+lg5)+lg5-

1

4

=lg2+lg5-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

∴λ∈E
（III）∵f′(x)=

2

x3

＞0恒成立
∴f(x)=

x2-1

x2

在[

1

m

，

1

n

]上为增函数
又∵函数f（x）的值域为[2-3m，2-3n]，
∴

f( 1 m )= m2-1 m2 =2-3m f( 1 n )= n2-1 n2 =2-3n

，
又∵

1

m

＜

1

n

，m＞0，n＞0
∴m＞n＞0
解得m=

3+ 5

2

，n=

3- 5

2

1-

1

4

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性，其中利用奇偶性求出a值，进而得到函数的解析式，是解答的关键．