Question

设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），当x＞0时，有0＜f（x）＜1．
（1） 求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；
（2） 证明：f（x）在R上单调递减．

Answer 1

分析：（1）f（x+y）=f（x）•f（y）恒成立，考虑取x=1，y=0代入，结合条件x＞0时，有0＜f（x）＜1，
可求f（0）；x＜0时，-x＞0，根据已知条件可得1＞f（-x）＞0，而f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）=1?f(x)=

1

f(-x)

，从而可证
（2）要证函数在R上单调递减?x₁＜x₂时有f（x₂）＜f（x₁），结合已知条件构造f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]，利用已知可证

解答：证明：（1）对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），
令x=1，y=0 可得 f（0+1）=f（0）．f（1）
因为x＞0时，有0＜f（x）＜1，所以f（1）＞0
所以 f（0）=1
当x＜0时，-x＞0，根据已知条件可得1＞f（-x）＞0，而f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）=1
f（x）=

1

f(-x)

＞1
（2）设x₁＜x₂则x₁-x₂＜0
根据（1）可知 f（x₁-x₂）＞1
因为f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）•f（x₂）＞f（x₂）
所以函数是单调递减

点评：本题主要考查抽象函数的函数值的求解，函数的单调性的定义法证明，属于中档题，函数的单调性的证明实际是通过配凑来比较函数值的大小，注意构造的技巧在解题中的 应用．