Question

某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P_k（x_k，y_k）处，其中x₁=1，y₁=1，当k≥2时，

xk=xk-1+1-5[T( k-1 5 )-T( k-2 5 )] yk=yk-1+T( k-1 5 )-T( k-2 5 )

T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为

 

；第2009棵树种植点的坐标应为

 

．

Answer 1

分析：由题意可知，数列x_n为1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…；数列{y_n}为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…由此入手能够得到第6棵树种植点的坐标和第2009棵树种植点的坐标．

解答：解：∵T(

k-1

5

) -T(

k-2

5

)组成的数列为0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1…，k=2，3，4，5，…
一一代入计算得数列x_n为1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…
即x_n的重复规律是x_5n+1=1，x_5n+2=2，x_5n+3=3，x_5n+4=4，x_5n=5．n∈N^*．
数列{y_n}为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…
即y_n的重复规律是y_5n+k=n，0≤k＜5．
∴由题意可知第6棵树种植点的坐标应为（1，2）；第2009棵树种植点的坐标应为（4，402）．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意创新题的灵活运用．