Question

如图所示，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点。

      （1）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；

      （2）在CC₁上是否存在一点E，使得∠BA₁E＝45°，　　　若存在，试确定E的位置，并判断平面A₁BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）∵AB＝B₁B

∴四边形ABB₁A₁为正方形，

∴A₁B⊥AB₁

又∵AC₁⊥面A₁BD，

∴AC₁⊥A₁B，

∴A₁B⊥面AB₁C₁，

∴A₁B⊥B₁C₁

又在直棱柱ABC－A₁B₁C₁中，BB₁⊥B₁C₁，

∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁…………………………………………6分

（2）证明：设AB＝BB₁＝a，CE＝x，

∵D为AC的中点，且AC₁⊥A₁D，

∴A₁B＝A₁C₁＝a

又∵B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，B₁C₁⊥A₁B₁

∴B₁C₁＝a，BE＝，

A₁E＝，

在△A₁BE中，由余弦定理得

BE²＝A₁B²＋A₁E²－2A₁B·A₁E·cos45°，

即a²＋x²＝2a²＋3a²＋x²－2ax－2·a·，

∴＝2a－x，解得x＝a，即E是C₁C的中点

∵    D．E分别为A  C．C₁C的中点，∴DE∥AC₁

∵AC₁⊥平面A₁BD，∴DE⊥平面A₁BD

又∵PE平面BDE，∴平面ABD⊥平面BDE…………………………12分