Question

已知函数f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e（其中a、b、c、d、x∈R）为偶函数，它的图象过点A（0，-1），且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若对任意x∈R，不等式f（x）≤t（x²+1）总成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据f（x）为偶函数，求出b和d的值，再根据函数的图象经过点（0，-1）求出e，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，建立一等量关系，再根据切点在曲线上建立一等式关系，解方程组即可求得结果；
（2）根据对任意x∈R，不等式f（x）≤t（x²+1）总成立，分离参数可得

-2x4+3x2-1

x2+1

≤t恒成立，进而转化为求函数g(x)=

-2x4+3x2-1

x2+1

的最大值即可，利用换元法和基本不等式即可求得结果．

解答：解：（1）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）恒成立．
即a（-x）⁴+b（-x）³+c（-x）²+d（-x）+e=ax⁴+bx³+cx²+dx+e恒成立，
∴b=0，d=0，即f（x）=ax⁴+cx²+e．
又由图象过点A（0，-1），可知f（0）=-1，即e=-1．
又f′（x）=4ax³+2cx，由题意知函数y=f（x）在点（1，0）的切线斜率为-2，
故f′（1）=-2且f（1）=0．
∴4a+2c=-2且a+c-1=0．可得a=-2，c=3．
∴f（x）=-2x⁴+3x²-1．
（2）由f（x）≤t（x²+1）恒成立，且x²+1恒大于0，
可得

-2x4+3x2-1

x2+1

≤t恒成立．
令g(x)=

-2x4+3x2-1

x2+1

，设x²+1=m，则m≥1，
∴g(x)=

-2x4+3x2-1

x2+1

=

-2m2+7m-6

m

=7-2(m+

3

m

)≤7-4

m• 3 m

=7-4

3

（当且仅当m=

3

时，“=”号成立）．
∴g（x）的最大值为7-4

3

，
故实数t的取值范围是[7-4

3

，+∞)．

点评：本题注意考查待定系数法求函数的解析式，以及分离参数的方法解决函数恒成立的问题，在解题时注意导数的几何意义的应用和基本不等式求最值应注意的问题，考查灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．