Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对一切正整数n都有．
（I）求证：a_n+1+a_n=4n+2；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）是否存在实数a，使不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由，知，由此能够导出．
（II）在中，令n=1，得a₁=2，代入（I）得a₂=4．由a_n+1+a_n=4n+2，知a_n+2+a_n+1=4n+6，故a_n+2-a_n=4，由此能导出数列{a_n}的通项公式是a_n=2n．
（III）＜等价于，令f（n）=，则f（n）＞0，由此能够导出存在实数a，符合题意，并能求出其取值范围．
解答：解：（I）∵，
∴
=，
∴，
即．
（II）在中，
令n=1，得a₁=2，代入（I）得a₂=4．
∵a_n+1+a_n=4n+2，∴a_n+2+a_n+1=4n+6，
两式相减，得：a_n+2-a_n=4，
∴数列{a_n}的偶数项a₂，a₄，a₆，…，a₂₆，…依次构成一个等差数列，
且公差为d=4，
∴当n为偶数时，=，
当n为奇数时，n+1为偶数，由上式及（I）知：
a_n=4n+2-a_n+1=4n+2-2（n+1）=2n，
∴数列{a_n}的通项公式是a_n=2n．
（III）＜，
等价于，
令f（n）=，
则由（II）知f（n）＞0，
∴
═
=
=
=．
∴f（n+1）＜f（n），即f（n）的值随n的增大而减小，
∴n∈N^*时，f（n）的最大值为，若存在实数a，符合题意，
则必有：，
即，
它等价于，
解得，或，
因此，存在实数a，符合题意，
其取值范围为．
点评：本题考查数列和不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．