题目内容

已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=
4-8|x-
3
2
|，1≤x≤2
1
2
f(
x
2
)，x＞2
，给出下列结论：
①函数f（x）的值域为[0，4]；
②关于x的方程f(x)=
1
2
有6个不相等的实根；
③当x∈[1，2]时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形的面积为S，则S=2；
④存在x0∈[1，8]，使得不等式x0f（x0）＞6成立．
其中你认为正确的所有结论的序号为______．
当1≤x≤
3
2
时，f（x）=4+8(x-
3
2
)=8x-8；当
3
2
＜x≤2时，f（x）=4-8(x-
3
2
)=-8x+16．
当2＜x≤3时，1＜
x
2
≤
3
2
，f（x）=
1
2
f(
x
2
)=
1
2
(8×
x
2
-8)=2x-4；
当3＜x≤4时，
3
2
＜
x
2
≤2，f（x）=
1
2
(-8×
x
2
+16)=-2x+8．
当4＜x≤6时，2＜
x
2
≤3，f（x）=
1
2
(2×
x
2
-4)=
1
2
x-2；
当6＜x≤8时，3＜
x
2
≤4，f（x）=
1
2
(-2×
x
2
+8)=-
1
2
x+4．…．
画出函数f（x）的图象：
由图象可知：
①函数f（x）的值域为[0，4]，正确；
②关于x的方程f(x)=
1
2
有7个不相等的实根，因此②不正确；
③当x∈[1，2]时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形的面积为S，则S=
1
2
×1×4=2，正确；
④画出函数y=
6
x
(x＞0)的图象，可知与函数y=f（x）有交点，
如x=
3
2
，3，6等，因此不存在x0∈[1，8]，使得不等式f(x0)＞
6
x0
即x0f（x0）＞6成立，因此正确．
综上可知：①③④正确．
故答案为：①③④．
练习册系列答案
相关题目
已知命题p：x2-5x-6≤0；命题q：-x2+2x+8≤0．若“p∨q”为真命题且“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．
下列命题中：①、若m＞0，则方程x2-x+m=0有实根．②、若x＞1，y＞1，则x+y＞2的逆命题．③、对任意的x∈{x|-2＜x＜4}，|x-2|＜3的否定形式．④、△＞0是一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件．是真命题的有______．
已知a，b，c∈R，下列四个命题：
（1）若a＞b则ac2＞bc2
（2）若
a
c
＞
b
c
则a＞b
（3）若a＞b则a2＞b2
（4）若a＞b则
1
b
＞
1
a

其中正确的个数是（　　）
A．0个B．1个C．2个D．3个
给出下列命题：
①若ab＞0，a＞b，则
1
a
＜
1
b
；
②若a＞|b|，则a2＞b2；
③若a＞b，c＞d，则a-c＞b-d；
④若a＜b，m＞0，则
a
b
＜
a+m
b+m

其中真命题的序号是：______．
给出下列语句：
①二次函数是偶函数吗？
②2＞2；
③sin
π
2
=1；
④x2-4x+4=0．
其中是命题的有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
记命题p为“若α=β，则cosα=cosβ”，则在命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是______．
下列命题：
①直线y=2x在x，y轴上的截距相等；
②直线ax+2y=1与直线x+y=0平行的充要条件是a=2；
③世界上第一个把π计算到3.1415926＜π＜3.1415927的是中国人祖冲之；
④抛两枚均匀的骰子，恰好出现一奇一偶的概率为
1
4
；
⑤满足||PF1|-|PF2||=2a（a＞0）的动点P的轨迹是双曲线；
⑥设P（x、y）是曲线
x2
25
+
y2
9
=1上的点，F1（-4，0），F2（4，0），则必有|PF1|+|PF2|＜10．
其中错误的命题序号是______．
在下列命题中：
①若
a
、
b
共线，则
a
、
b
所在的直线平行；
②若
a
、
b
所在的直线是异面直线，则
a
、
b
一定不共面；
③若
a
、
b
、
c
三向量两两共面，则
a
、
b
、
c
三向量一定也共面；
④已知三向量
a
、
b
、
c
，则空间任意一个向量
p
总可以唯一表示为
p
=x
a
+y
b
+z
c
．
其中真命题的个数为（　　）
A．0B．1C．2D．3

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