Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC，D、E分别为AA₁、B₁C的中点．
（I）证明：DE∥底面ABC
（II）设二面角A-BC-D为60°；求BD与平面BCC₁B₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）取BC的中点F，连接EF，DF，BE，先根据E为B₁C的中点得到EF=DA，EF∥DA进而得AFED为平行四边形；即可得到DE∥底面ABC．
（II）先根据第一问的结论知道∠DBE即为BD与平面BCC₁B₁所成的角；再结合∠DAF即为二面角A-BC-D的平面角求出边长即可求出结论．

解答： （I）证：取BC的中点F，连接EF，DF，BE，
∵AB=AC，∴AF⊥BC，
因为E为B₁C的中点
∴EF∥BB₁，FE=

1

2

BB₁，
∴EF=DA，EF∥DA
∴AFED为平行四边形，
∴DE∥AF，
∴DE∥平面ABC．
（II）解：∵AF⊥BC，AF⊥BB₁，
∴AF⊥平面BCC₁B₁，
∵DE∥AF⇒DE⊥平面BCC₁B₁
∴∠DBE即为BD与平面BCC₁B₁所成的角．
∵二面角A-BC-D为60°；
而DA⊥平面ABC，AF⊥BC；
∴∠DAF即为二面角A-BC-D的平面角，
所以∠DAF=60°，tan∠DFA=

DA

AF

⇒DF=AF•tan∠DFA=

2

2

×tan60°=

6

2

．
∴BD=

DE 2+AB 2

=

( 6 2 )2+12

=

10

2

．
∴sin∠DBE=

DE

BD

=

AF

BD

=

2 2

10 2

=

5

5

．
即BD与平面BCC₁B₁所成的角的正弦值为：

5

5

．

点评：本题主要考察线面所成的角以及线面平行的判定．一般在证明线面平行时，常转化为证线线平行．