Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

1

2

，短轴长为4

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线x=2与椭圆C交于P、Q两点，A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为

1

2

．
①求四边形APBQ面积的最大值；
②设直线PA的斜率为k₁，直线PB的斜率为k₂，判断k₁+k₂的值是否为常数，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由短轴长可得b值，根据离心率为

1

2

及a²=b²+c²，得a值；
（II）①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=

1

2

x+t，代人

x2

16

+

y2

12

=1得x的二次方程，四边形APBQ的面积S=

1

2

×|PQ||x1-x2|=

1

2

|PQ|

(x1+x2)2-4x1x2

．，而|PQ|易求，代入韦达定理即可求得S的表达式，由表达式即可求得S的最大值；②直线PA的斜率k1=

y1-3

x1-2

，直线PB的斜率k2=

y2-3

x2-2

，代入韦达定理即可求得k₁+k₂的值；

解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由已知b=2

3

，离心率e=

c

a

=

1

2

，a²=b²+c²，得a=4，
所以，椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为P（2，3），Q（2，-3），则|PQ|=6，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=

1

2

x+t，代人

x2

16

+

y2

12

=1，
得：x²+tx+t²-12=0．
由△＞0，解得-4＜t＜4，由根与系数的关系得

x1+x2=-t x1x2=t2-12

，
四边形APBQ的面积s=

1

2

×6×|x1-x2|=3×

(x1+x2)2-4x1x2

=3

48-3t2

，
故当t=0时，Smax=12

3

；
②由题意知，直线PA的斜率k1=

y1-3

x1-2

，直线PB的斜率k2=

y2-3

x2-2

，
则k1+k2=

y1-3

x1-2

+

y2-3

x2-2

=

1 2 x1+t-3

x1-2

+

1 2 x2+t-3

x2-2

=

1 2 (x1-2)+t-2

x1-2

+

1 2 (x2-2)+t-2

x2-2

=1+

t-2

x1-2

+

t-2

x2-2

=1+

(t-2)(x1+x2-4)

x1x2-2(x1+x2)+4

，
由①知

x1+x2=-t x1x2=t2-12

，
可得k1+k2=1+

(t-2)(-t-4)

t2-12+2t+4

=1+

-t2-2t+8

t2+2t-8

=1-1=0，
所以k₁+k₂的值为常数0．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆方程的求解，考查直线的斜率公式，考查学生分析解决问题的能力，具有一定综合性，难度较大．