Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）当a＞0时，函数f（x）满足f（x）_极小值=1，f（x）_极大值=

31

27

，试求y=f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，1]时，设f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若a∈[

3

2

，

3

]且a为常数，求θ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，确定函数的单调性，再利用f（x）_极小值=1，f（x）_极大值=

31

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，建立方程，从而可求y=f（x）的解析式；
（2）先求导函数，根据a∈[

3

2

，

3

]，可确定斜率的范围，从而可确定倾斜角θ的取值范围．

解答：解：（1）由f′（x）=-3x²+2ax（a＞0），
令f′（x）=0，得x=0或x=

2

3

a．…（1分）
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0， 2 3 a）	2 3 a	（ 2 3 a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	b	↗	f（ 2 3 a）	↘

∴当x=0时，f（x）_极小值=f（0）=b=1，当x=

2

3

a时，f（x）_极大值=-

8

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a3+

4

9

a3+1=

31

27

，…（4分）
解得b=1，a=1．
∴f（x）=-x³+x²+1．…（6分）
（2）tanθ=f′（x）=-3x²+2ax=-3(x-

a

3

)2+

a2

3

，…（7分）
∵a∈[

3

2

，

3

]，
∴

1

2

≤

a

3

≤

3

3

．
∵x∈[0，1]，
∴f′（0）≤f′（x）≤f′（

a

3

）．…（10分）
∴0≤f′（x）≤

a2

3

，即0≤tanθ≤

a2

3

，
∵0≤θ≤π，∴θ∈[0，arctan

a2

3

]，
∴θ的取值范围是[0，arctan

a2

3

]．…（12分）

点评：本题主要考查了导数的运用，考查函数的极值，导数的几何意义，解题的关键是明确导数的几何意义．