Question

设a为实数，函数f（x）=x³-3ax²+a
（1）若a=1，求f（x）的单调区间
（2）求f（x）的在[1，+∞）上的极值
（3）若a＞0且关于x的方程f（x）=0在[-2，2]有三个不同的实数根，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x³-3x²+1，得f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），令f′（x）＞0，f′（x）＜0，得x的取值范围，即为f（x）的单调区间．
（2）由f（x）=x³-3ax²+a，得f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），令f′（x）＞0，f′（x）＜0，得x的取值范围，列表得出f（x）的在[1，+∞）上的极值．
（3）由（1）（2）知f（x）的简图，由图得出方程f（x）=0在[-2，2]有三个不同的实数根的充要条件，即不等式，解不等式求交集即得．

解答：解：（1）∵a=1时，f（x）=x³-3x²+1，∴f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
令f′（x）＞0，得x＜0，或x＞2，令f′（x）＜0，得0＜x＜2，
∴a=1时，f（x）的单调区间为（-∞，0），（0，2），（2，+∞）
（2）∵f（x）=x³-3ax²+a，∴f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），∵x≥1
①当a≤

1

2

时，f′（x）≥0，∴f（x）在[1，+∞）是单调递增函数，无极值．
②当a＞

1

2

时，令f′（x）=0，得x=2a，令f′（x）＞0，得x＞2a，令f′（x）＜0，得1≤x＜2a，
∴f（x）的在[1，2a）上是减函数，在（2a，+∞）上是增函数，
∴f（x）的在[1，+∞）上有极小值为f（2a）=（2a）³-3a（2a）²+a=a-4a³，
（3））∵f（x）=x³-3ax²+a，∴f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），∵a＞0
令f′（x）＞0，得x＜0，或x＞2a，令f′（x）＜0，得0＜x＜2a，
∴f（x）在（-∞，0）（2a，+∞）上是增函数，在（0，2a）上是减函数．
∴f（x）的极大值为f（0）=a，极小值为f（2a）=a-4a³，
①∵方程f（x）=0有三个不同的实数根，
∴f（0）=a＞0，且f（2a）=a-4a³＜0∴a＞

1

2

②∵方程f（x）=0在[-2，2]有三个不同的实数根
∴2a＜2，且

f(2)≥0 f(-2)≤0

，∵f（2）=-11a+8，f（-2）=-11a-8，
∴a＜1，且-11a+8≥0，且-11a-8≤0，
∴-

8

11

≤a≤

8

11

由①②知，a的取值范围为

1

2

＜a≤

8

11

点评：本题考查了用导数求单调区间、极值的方法，当导函数大于0，原函数为增函数，当导函数小于0，原函数为减函数；令导数为0得出x：x的左侧导函数大于0，x的右侧导函数小于0，则x为极大值；x的左侧导函数小于0，x的右侧导函数大于0，则x为极小值；利用数形结合，函数的思想，得出要求问题的不等式组，解得范围．