Question

已知函数f（x）的定义域为N^*，且f（x+1）=f（x）+x，f（1）=0．
（1）求f（x）的解析式．
（2）设an=

1

f(n)

．(n∈N*，n≥2)，Sn=a2+a3+a 3+…+an，问是否存在最大的正整数m，使得对任意的n∈N*均有Sn＞

m

2012

恒成立？若存在，求出m值；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）令x=n，可得f（n+1）-f（n）=n，利用叠加法，可求函数f（x）的解析式；
（2）先裂项an=

1

f(n)

=

2

n(n-1)

=2（

1

n-1

-

1

n

）（n≥2），再求和，确定S_n（n≥2）递增，可得（S_n）_min=a₂=1，对任意的n∈N^*均有Sn＞

m

2012

恒成立，转化为1＞

m

2012

，由此可得结论．

解答：解：（1）令x=n，则由f（x+1）=f（x）+x可得f（n+1）-f（n）=n
∴f（n）=f（1）+[f（2）-f（1）]+…+[f（n）-f（n-1）]=1+2+…+（n-1）=

n(n-1)

2

（n≥2）
n=1时，f（1）=0也满足上式
∴f(n)=

n(n-1)

2

∴f（x）=

x(x-1)

2

；
（2）an=

1

f(n)

=

2

n(n-1)

=2（

1

n-1

-

1

n

）（n≥2）
∴S_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）]=2-

2

n

∵n≥2时，Sn+1-Sn=

2

n

-

2

n+1

＞0
∴S_n（n≥2）递增，
∴（S_n）_min=a₂=1
∵对任意的n∈N^*均有Sn＞

m

2012

恒成立
∴1＞

m

2012

∴m＜2012
∴最大的正整数m为2011．

点评：本题考查函数的解析式，考查数列与函数的关系，考查叠加法，考查裂项法求数列的和，考查恒成立问题，综合性强．