题目内容

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF∥平面PAD，求AF的长；
（3）求二面角A-PC-B的余弦值．
（1）证明：∵△ABC是正三角形，M是AC中点，
∴BM⊥AC，即BD⊥AC．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
∴BD⊥PC．
（2）取DC中点G，连接FG，则EG∥平面PAD，

∵直线EF∥平面PAD，EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面PAD，
∵FG?平面EFG，
∴FG∥平面PAD
∵M为AC中点，DM⊥AC，
∴AD=CD．
∵∠ADC=120°，AB=4，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，AD=CD=
4
3
3
，
∵∠DGF=60°，DG=
2
3
3
，∴AF=1
（3）分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，

∴B（4，0，0），C（2，2
3
，0），D（0，
4
3
3
，0），P（0，0，4）．
DB
=（4，-
4
3
3
，0）为平面PAC的法向量．
设平面PBC的一个法向量为
n
=（x，y，z），则
∵
PC
=（2，2
3
，-4），
PB
=（4，0，-4），
∴
2x+2
3
y-4z=0
4x-4z=0
，
令z=3，得x=3，y=
3
，则平面PBC的一个法向量为
n
=（3，
3
，3），
设二面角A-PC-B的大小为θ，则cosθ=
n
•
DB
|
n
||
DB
|
=
7
7
．
∴二面角A-PC-B余弦值为
7
7
．
练习册系列答案
相关题目
已知
a
=（2，-1，3），
b
=（-1，4，-2），
c
=（3，2，λ），若
a
、
b
、
c
三向量共面，则实数λ等于（　　）
A．2B．3C．4D．5
已知点H在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线B′D′上，∠HDA=60°．
（Ⅰ）求DH与CC′所成角的大小；
（Ⅱ）求DH与平面AA′D′D所成角的大小．
如图所示，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且CE=1．
（1）求证BE⊥B1C；
（2）求直线A1B与直线B1C所成角的正弦值．
如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，A1A⊥平面ABC，A1A=AB=AC，AB⊥AC，点D是BC上一点，且AD⊥C1D．
（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
（2）求证：A1B∥平面ADC1；
（3）求二面角C-AC1-D大小的余弦值．
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，点P在边AB上，设
AP
=λ
PB
（λ＞0），过点P作PE∥BC交AC于E，作PF∥AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE使平面A′PE⊥平面ABC；沿PE将△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．
（1）求证：B′C∥平面A′PE；
（2）是否存在正实数λ，使得二面角C-A′B′-P的大小为90°？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，F是PD的中点，E是线段AB上的点．
（Ⅰ）当E是AB的中点时，求证：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）要使二面角P-EC-D的大小为45°，试确定E点的位置．
如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．
（Ⅰ）求证：AB⊥DE；
（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出
EF
EA
；若不存在，说明理由．
四边形OABC中，，若，，则（  ）
A．B．C．D．

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