Question

已知y=f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x-3，
（1）用分段函数形式写出y=f（x）的解析式；
（2）用对称性画出函数的图象；
（3）写出y=f（x）的单调区间；
（4）求出函数y=f（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）只需求出当x＜0时，f（x）表达式即可．当x＜0时，-x＞0，可求出f（-x），再利用偶函数性质得到f（x）与f（-x）的关系，从而得到答案；
（2）偶函数图象关于y轴对称，只作出y轴一侧的图象，再沿y轴对折即可；
（3）根据（2）中的函数图象写出即可；
（4）分别求出x≥0及x＜0时的函数最值，进行比较即可．

解答：解：（1）当x＜0时，-x＞0，f（-x）=（-x）²-2（-x）-3=x²+2x-3，
又函数f（x）是R上的偶函数，所以f（x）=f（-x）=x²+2x-3，
 所以y=f（x）=

x2-2x-3，(x≥0) x2+2x-3，(x＜0)

；
（2）先作出x≥0时的部分                                               
图象，再利用偶函数的图象关于y轴对称作出x＜0的部分图象，如图所示：；
（3）由函数f（x）的图象可得：减区间是（-∞，-1]，[0，1]；增区间是[-1，0]，[1，+∞）；
（4）当x≥0时，f（x）=（x-1）²-4≥-4；当x＜0时，f（x）=（x+1）²-4≥-4，
所以f（x）的最小值是-4，没有最大值．

点评：本题综合考查了函数的奇偶性、单调性及奇偶函数图象的对称特征，有关概念、基本方法是解决该类题目的基础．