题目内容

椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，P为椭圆C上任意一点．已知
PF1
•
PF2
的最大值为3，最小值为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于M、N两点（M、N不是左右顶点），且以MN为直径的圆过点A．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
分析：（1）先确定|PF1|+|PF2|=2a且a-c≤|PF1|≤a+c，再计算
PF1
•
PF2
，利用
PF1
•
PF2
的最大值为3，最小值为2，建立方程组，即可求得椭圆方程；
（2）将y=kx+m代入椭圆方程得一元二次方程，利用韦达定理，及MN为直径的圆过点A，即可证得结论．
解答：（1）解：∵P是椭圆上任一点，∴|PF1|+|PF2|=2a且a-c≤|PF1|≤a+c，
∴y=
PF1
•
PF2
=|
PF1
|
|PF2
|cos∠F1PF2=
1
2
[|PF1|2+|PF2|2-4c2]
=
1
2
[|PF1|2+(|2a-|PF1|)2-4c2]=(|PF1|-a)2+a2-2c2…（2分）
当|PF1|=a时，y有最小值a2-2c2；当|PF2|=a-c或a+c时，y有最大值a2-c2．
∴
a2-c2=3
a2-2c2=2
，
a2=4
c2=1
，b2=a2-c2=3．
∴椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1．…（4分）
（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），将y=kx+m代入椭圆方程得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0．
∴x1+x2=
-8km
4k2+3
，x1x2=
4m2-12
4k2+3
…（6分）
∵y1=kx1+m，y2=kx2+m，y1y2=k2x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2，
∵MN为直径的圆过点A，∴
AM
•
AN
=0，
∵右顶点为A，∴A（2，0）
∴
AM
=（x1-2，y1），
AN
=（x2-2，y2），
∴（x1-2）（x2-2）+y1y2=0
∴7m2+16km+4k2=0，
∴m=-
2
7
k或m=-2k都满足△＞0，…（9分）
若m=-2k直线l恒过定点（2，0）不合题意舍去，
若m=-
2
7
k直线l：y=k(x-
2
7
)恒过定点(
2
7
，0)．…（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，联立方程，正确运用韦达定理是关键．
练习册系列答案
相关题目
一条斜率为1的直线l与离心率e=
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直线l和椭圆C的方程．
直角坐标系xoy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点P（
3
5
a，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N．
（1）求椭圆离心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
3
2
，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直线AB的方程．
如图所示，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，左焦点为F1（-1，0），右焦点为F2（1，0），短轴两个端点为A、B．与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．
（3）当弦MN的中点P落在△MF1F2内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为F1，F2，若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

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