Question

在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，点（a，b）在直线x（sinA-sinB）+ysinB=csinC上．
（I）求角C的值；
（II）若a²+b²=6（a+b）-18，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）由正弦定理，将已知等式的正弦转化成边，可得a（a-b）+b²=c²，即a²+b²-c²=ab．再用余弦定理可以算出C的余弦值，从而得到角C的值；
（II）将a²+b²=6（a+b）-18化简整理，得a=b=3，结合C=

π

3

可得△ABC是边长为3的等边三角形，由此不难用等边三角形的面积计算公式求出△ABC的面积S．

解答：解：（I）由题得a（sinA-sinB）+bsinB=csinC，
由正弦定理得a（a-b）+b²=c²，即a²+b²-c²=ab．
∴余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵C∈（0，π），
∴C=

π

3

．…（6分）
（II）∵a²+b²=6（a+b）-18，∴（a-3）²+（b-3）²=0，从而a=b=3．
∵C=

π

3

，
∴△ABC是边长为3的等边三角形，可得△ABC的面积S=

3

4

×3²=

9 3

4

…（12分）

点评：本题在△ABC中给出边与角的正弦的等式，要我们求角的大小并且由此求三角形的面积，着重考查了正余弦定理和三角形面积公式等知识，属于基础题．