题目内容

已知函数 $数学公式$ R），g（x）=lnx．
（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程 $数学公式$ （e为自然对数的底数）只有一个实数根，求a的值．

（1）解：函数 $\text{[math]}$ 的定义域为（0，+∞）．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
①当△=1+4a≤0，即 $\text{[math]}$ 时，得x²+x-a≥0，则F′（x）≥0．
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．（2分）
②当△=1+4a＞0，即 $\text{[math]}$ 时，令F′（x）=0，得x²+x-a=0，
解得 $\text{[math]}$ ．
（ⅰ）若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
∵x∈（0，+∞），∴F′（x）＞0，
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．（4分）
（ⅱ）若a＞0，则 $\text{[math]}$ 时，F′（x）＜0； $\text{[math]}$ 时，F′（x）＞0，
∴函数F（x）在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减，在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数F（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a＞0时，函数F（x）的单调递减区间为 $\text{[math]}$ ，
单调递增区间为 $\text{[math]}$ ．（8分）
（2）解：由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，化为 $\text{[math]}$ ．
令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
令h′（x）=0，得x=e．
当0＜x＜e时，h′（x）＞0；当x＞e时，h′（x）＜0．
∴函数h（x）在区间（0，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减．
∴当x=e时，函数h（x）取得最大值，其值为 $\text{[math]}$ ．（10分）
而函数m（x）=x²-2ex+a=（x-e）²+a-e²，
当x=e时，函数m（x）取得最小值，其值为m（e）=a-e²．（12分）
∴当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，方程 $\text{[math]}$ 只有一个根．（14分）
分析：（1）先求出求函数F（x）=f（x）+g（x）的导函数，分情况求出导数为0的根进而求出函数的单调区间（注意是在定义域内求单调区间）；
（2）先把问题转化为 $\text{[math]}$ 只有一个实数根；再利用导函数分别求出等号两端的极值，在下面画出草图，结合草图即可求出结论．
点评：本题第一问考查利用导数研究函数的单调性．利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是．教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．