Question

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M（1，

4 2

3

），N（-

3 2

2

，

2

）两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）（其中0＜a＜3）的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及点P的坐标；若不存在，请给予证明．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，且m≠n），由椭圆过M，N两点得

m+ 32 9 n=1 9 2 m+2n=1

，求出m，n后就得到椭圆的方程．
（2）设存在点P（x，y）满足题设条件，由

x2

9

+

y2

4

=1，得y²=4（1-

x2

9

），结合题设条件能够推导出|AP|²=

5

9

（x-

9

5

a）²+4-

4

5

a²（|x|≤3），由此可以求出a的值及点P的坐标．

解答：解：（1）设椭圆方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，且m≠n）
∵椭圆过M，N两点
∴

m+ 32 9 n=1 9 2 m+2n=1

?

m= 1 9 n= 1 4

，即椭圆方程为

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）设存在点P（x，y）满足题设条件，由

x2

9

+

y2

4

=1，得y²=4（1-

x2

9

）
∴|AP|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+4（1-

x2

9

）=

5

9

（x-

9

5

a）²+4-

4

5

a²（|x|≤3），
当|

9a

5

|≤3即0＜a≤

5

3

时，|AP|²的最小值为4-

4

5

a²
∴4-

4

5

a²=1?a=±

15

2

∉（0，

5

3

]
∴

9

5

a＞3即

5

3

＜a＜3，此时当x=3时，|AP|²的最小值为（3-a）²
∴（3-a）²=1，即a=2，此时点P的坐标是（3，0）
故当a=2时，存在这样的点P满足条件，P点的坐标是（3，0）．

点评：本题综合考查椭圆的直线的位置关系，在解题时要注意培养计算能力和灵活运用公式的能力．