Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且是偶函数，给出下列四个结论：
①f（x）是周期函数；
②x=π是f（x）图象的一条对称轴；
③（-π，0）是f（x）图象的一个对称中心；
④当时，f（x）一定取最大值．
其中正确的结论的代号是

1. A.
   ①③
2. B.
   ①④
3. C.
   ②③
4. D.
   ②④

Answer 1

A
分析：依据是偶函数，可知f（x+）=f（-x+）进而推断函数f（x）是以π为周期的函数．依据f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（x）关于原点对称．依题意不能断定函数一定有最值．最后断定①③正确．
解答：∵是偶函数
∴f（x+）=f（-x+）=f（x-）=f（x+-π）
∴f（x）=f（x-π），即函数f（x）是以π为周期的函数．
∴①是正确的．
∵f（x）为定义在R上的奇函数
∴f（x）关于原点对称，
∵π为函数的周期，
∴f（x）亦关于（π，0），（-π，0）对称，
故②不正确，③正确．
∵函数f（x）不一定有最大值，故④不正确．
故选A
点评：本题主要考查函数的周期性．要利用好周期函数的奇偶性来判断函数的对称性．