Question

设奇函数f（x）在[-1，1]上是增函数，且f（-1）=-1，当a∈[-1，1]时，f（x）≤t²-2at+1对所有的x∈[-1，1]恒成立，则t的取值范围是（ ）
A．t≥2或t≤-2或t=0
B．t≥2或t≤2
C．t＞2或t＜-2或t=0
D．-2≤t≤2

Answer 1

【答案】分析：根据题意，由f（x）的奇偶性与单调性分析可得f（x）在[-1，1]最大值是1，由此可以得到1≤t²-2at+1，变形可得t²-2at≥0对于a∈[-1，1]恒成立，因其在a∈[-1，1]时恒成立，可以改变变量，以a为变量，利用一次函数的单调性转化求解；综合可得答案．
解答：解：根据题意，f（x）是奇函数且f（-1）=-1，则f（1）=1，
又由f（x）在[-1，1]上是增函数，则f（x）在[-1，1]上最大值为f（1）=1，
若当a∈[-1，1]时，f（x）≤t²-2at+1对所有的x∈[-1，1]恒成立，
则有1≤t²-2at+1对于a∈[-1，1]恒成立，即t²-2at≥0对于a∈[-1，1]恒成立，
当t=0时显然成立
当t≠0时，则t²-2at≥0成立，又a∈[-1，1]
令g（a）=2at-t²，a∈[-1，1]
当t＞0时，g（a）是减函数，故令g（1）≥0，解得t≥2
当t＜0时，g（a）是增函数，故令g（-1）≥0，解得t≤-2
综上知，t≥2或t≤-2或t=0；
故选A．
点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，涉及函数恒成立问题；难点在于运用转化思想将t²-2at≥0恒成立转化为-2ta+t²≥0恒成立，进而由一次函数的性质分析得到答案．