Question

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥平面ABCD．AD=1，AB=

3

，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求直线AB与平面PDC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）在△BDC中，可得出BD²+DC²=BC²，即BD⊥DC，再由PD⊥平面ABCD，BD⊥平面ABCD从而BD⊥PC，
（2）由（1）可得DH∥AB，DH与平面PDC所成角的平面角即为AB与平面PDC所成角，过G作GH垂直DC于G，面PCD⊥平面ABCD，，HG⊥平面PCD∠HGD为直线AB与平面PDC所成角的平面角．在直角三角形△DHC中求解即可．

解答：解：（1）如图．作DH⊥BC于H，在直角△DHC中，DH=AB=

3

，HC=3，∴DC=2

3

，又在直角△BAD中，BD=2，在△BDC中，BD²+DC²=BC²，∴BD⊥DC，
∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PCD
∴平面PCD⊥平面ABCD，
∴BD⊥平面PCD，PC?平面PCD
∴BD⊥PC；
（2）由（1）可得DH∥AB∴DH与平面PDC所成角的平面角即为AB与平面PDC所成角
过G作GH垂直DC于G，
∵平面PCD⊥平面ABCD，∴HG⊥平面PCD
∠HGD为直线AB与平面PDC所成角的平面角．
在直角三角形△DHC中，sin∠HGD=

HC

DC

= 

3

2 3

=

3

2

，∠HGD=

π

3

直线AB与平面PDC所成角的大小为

π

3

．

点评：本题考查线线、线面位置关系、线面角的求解．考查空间想象能力、计算能力．