Question

如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四边形，。

（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；

（Ⅱ）当=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。

Answer 1

解：∵四边形是，∴，作双曲线的右准线交PM于H，则，又，。

（Ⅱ）当时，，，双曲线为，设P，则，，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，

又，由得：，解得，则，所以为所求。