Question

已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x₀，使得f（x₀）=f′（x₀），则称x₀是f（x）的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是

①③⑤

．（填上正确的序号）
①f（x）=x²，
②f（x）=e^-x，
③f（x）=lnx，
④f（x）=tanx，
⑤f（x）=x+

1

x

．

Answer 1

分析：分别求函数的导数，根据条件f（x₀）=f′（x₀），确实是否有解即可．

解答：解：①中的函数f（x）=x²，f'（x）=2x．要使f（x）=f′（x），则x²=2x，解得x=0或2，可见函数有巧值点；
对于②中的函数，要使f（x）=f′（x），则e^-x=-e^-x，由对任意的x，有e^-x＞0，可知方程无解，原函数没有巧值点；
对于③中的函数，要使f（x）=f′（x），则lnx=

1

x

，由函数f（x）=lnx与y=

1

x

的图象它们有交点，因此方程有解，原函数有巧值点；
对于④中的函数，要使f（x）=f′（x），则tanx=

1

cos2x

，即sinxcosx=1，显然无解，原函数没有巧值点；
对于⑤中的函数，要使f（x）=f′（x），则x+

1

x

=1-

1

x2

，即x³-x²+x+1=0，设函数g（x）=x³-x²+x+1，g'（x）=3x²-2x+1＞0且g（-1）＜0，g（0）＞0，
显然函数g（x）在（-1，0）上有零点，原函数有巧值点．
故答案为：①③⑤．

点评：本题主要考查导数的应用，以及函数的方程的判断，考查学生的运算能力．