Question

如图，已知直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，D为AB的中点，A₁D⊥AB₁，且AC=BC，
（1）求证：A₁C⊥AB₁；
（2）若CC₁到平面A₁ABB₁的距离为1，AB1=2

6

，A1D=2

3

，求三棱锥A₁-ACD的体积；
（3）在（2）的条件下，求点B到平面A₁CD的距离．

Answer 1

分析：（1）在△CAB中，先证明A₁D是A₁C在平面ABB₁A上的射影，根据AB₁⊥A₁D，由三垂线定理可得 A₁C⊥AB₁ ．
（2）先求出求得AA1=2

2

，AD=2，由V三棱锥A1-ACD=

1

3

•(

1

2

AD•CD)•AA1 运算求得结果．
（3）由题意得点B到平面A₁CD的距离为点A到平面A₁CD的距离，过A作AH⊥A₁D于H，可得AH⊥面ADC，AH即为所求，
根据AH=

AD•AA1

A1D

 运算求得结果．

解答：解：（1）证明：在△CAB中，因为AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB．
又∵面ABB₁A₁⊥面ABC，且面ABB₁A∩面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB₁A₁，∴A₁D是A₁C在平面ABB₁A上的射影．
∵AB₁⊥A₁D，由三垂线定理可得 A₁C⊥AB．
（2）由（1）知CD=1，在Rt△AA₁D及Rt△AA₁B中，由A1D=2

3

，AB1=2

6

，可求得AA1=2

2

，AD=2．
∴V三棱锥A1-ACD=

1

3

•(

1

2

AD•CD)•AA1=

1

6

×2×1×2

2

=

2 2

3

．
（3）∵AB与平面A₁DC相交于点D，且D为AB的中点，∴点B到平面A₁CD的距离为点A到平面A₁CD的距离，
过A作AH⊥A₁D于H，∵面ADA₁⊥面A₁DC，∴AH⊥面ADC，∴AH即为所求．
在Rt△AA₁D中，AA1=2

2

，AD=2，A1D=2

3

，∴AH=

AD•AA1

A1D

=

2×2 2

2 3

=

2

3

6

，
∴点B到平面A₁CD的距离为

2

3

6

．

点评：本题考查证明线线垂直的方法，求三棱锥的体积，求点到平面的距离的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题．