Question

【题目】已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2 ． （Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣x+1的最大值；
（Ⅱ）对于任意x1 ， x2∈（0，+∞），且x1＜x2 ， 是否存在实数m，使mg（x1）﹣mg（x2）﹣x2f（x2）+x1f（x1）恒为正数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数h（x）的定义域为（0，+∞）， ∵h（x）=lnx﹣x+1，∴h′（x）= ﹣1= ，
当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0．
∴h（x）在（0，1）上是单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴h（x）max=h（1）=0，即函数的最大值为0．
（Ⅱ）若mg（x2）﹣mg（x1）﹣x1f（x1）+x2f（x2）＞0恒成立，只需mg（x2）+x2f（x2）＞mg（x1）+x1f（x1），
设φ（x）=mg（x）+xf（x）=mx2+xlnx，
又0＜x1＜x2 ， 则只需φ（x）在（0，+∞）上单调递减．
∴φ′（x）=2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上成立，得2m≤ ，
设t（x）= ，则t′（x）= ，知函数t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，即t（x）min=t（1）=﹣1．
∴存在实数m≤﹣ ，使mg（x2）﹣mg（x1）﹣x1f（x1）+x2f（x2）恒为正数
【解析】（Ⅰ）求出函数的定义域、导数h′（x），由导数的符号可知函数单调性，根据单调性即可得到最大值；（Ⅱ）mg（x2）﹣mg（x1）﹣x1f（x1）+x2f（x2）＞0恒成立，只需mg（x2）+x2f（x2）＞mg（x1）+x1f（x1），设φ（x）=mg（x）+xf（x）=mx2+xlnx，又0＜x1＜x2 ， 则只需φ（x）在（0，+∞）上单调递减．从而有φ′（x）=2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上恒成立，分离出参数m后化为函数最值即可，利用导数可求得函数的最值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．