Question

（2010•西安八校联考）已知正整数a、b满足4a+b=30，则使得

1

a

+

1

b

取得最小值的有序数对（a，b）是（　　）

Answer 1

分析：已知4a+b=30，即

1

30

（4a+b）=1，将所求代数式乘以1，即乘以

1

30

（4a+b），展开后利用均值定理即可得其最小值，由均值定理等号成立的条件即可得a、b的值

解答：解：依题意得

1

a

+

1

b

=

1

30

（

1

a

+

1

b

）（4a+b）
=

1

30

（4+

b

a

+

4a

b

+1）≥

1

30

（5+2

b a × 4a b

）=

3

10

，
当且仅当

b

a

=

4a

b

时取最小值，即b=2a且4a+b=30，即a=5，b=10时取等号．
∴使得

1

a

+

1

b

取得最小值的有序数对（a，b）是（5，10）
故选A

点评：本题考查了均值定理求函数最值的方法，条件不等式求最值时整体代换的方法和技巧，准确的运用条件并熟记均值定理成立的条件是解决本题的关键